تمرين في الظواهر الكهربائية

التمرين

مكثفة سعتها C تشحن باستعمال دارة تحتوي على ناقل أمي مقاومته R و مولد قوته المحركة الكهربائية E

1 / أكتب المعادلة التفاضلية الموافقة لعملية الشحن باستعمال المقادير C, E, R من جهة و الدالة الموالية و مشتقاتها .

أ - (q(t ب - ( Uc( t جـ - ( i(t د - ( UR(t

2/ قارن هذه المعادلات . ماذا تستنتج ؟

................................. الحل .....................................................


1- أ-
U_R(t)= u_c(t)=E

R.i(t)+q(t)/C=E

و i(t)=dq(t)/dt

اي : R.dq(t)/dt+q(t)/C=E


ومنه : (dq(t)/dt+q(t)/R.C=E/R.......(1

ب- (q(t)=C.u_c(t

بالاشتقاق لدينا : dq(t)/dtC.du_c(t)/dt

بالتعويض في -1- نجد : C.du_c(t)/dt+Cu_c(t)/R.C=E/R


بالقسمة على C:
du_c(t)/dt+u_c(t)/R.C=E/R....2

جـ - i(t)=dq(t)/dt

ومن الاشتقاق -1- نحصل على :

d/dt(dq(t)/dt(+1/R.C.dq/dt=0

اي: di(t)/dt+i(t)/R.C=0....3

د- i(t)=u_R(t)/R

بضرب (3) في R :

R.di(t)/dt+Ri(t)/RC=0

du_r(t)/dt+u_r(t)/R.C=0

2-كل هذه المعادلات هي من الشكل :

df(t)/dt+f(t)/tau=cst

تقبل حلولا من الشكل :

f(t)=Ae^alpha.t+B

حيث :

B=cst.tau و alpha=-1/tau

و A تتعلق بالشروط الابتدائية وباستمرارية الدالة عند t=0.

..................................................................................................